Fremde Stadt, fremder Arzt, Krankschreibung. Ist das möglich?

Natürlich geht das. In Deutschland besteht ein Recht auf freie Arztwahl, sonst könntest du ja nicht einfach den Hausarzt wechseln oder von Notärzten/in Kliniken ohne bürokratischen Aufwand für dich behandelt werden.
Wenn es dir Montag noch schlecht geht, suche einen Allgemeinmediziner in deiner Nähe auf. Verschleppe die Erkältung lieber nicht, das kann ernster werden als es jetzt vielleicht schon ist.
Sage einfach, dass du zwar den und den Hausarzt hast, du aber aufgrund der Übernachtung nur zu dem Arzt, bei dem du gerade bist, hingehen konntest. Eigentlich solltest du da keine Probleme haben.

Ich wünsche dir jedenfalls gute Besserung und viel Erfolg.

Du kannst ganz normal zu einem beliebigen Allgemeinmediziner vorstellig werden, unabhängig vom Standort. Kriegst du den Krankenschein, dann bitte mit Einschreiben an deine Berufsschule, oder wohin du die auch immer hinschicken musst, sofort zu senden :-)

Du hast freie Arztwahl. Du kannst also auch in einer fremden Stadt zum Arzt gehen. Wichtig ist nur, dass du deine Chipkarte von der Krankenkasse dabei hast.

In Deutschland hast Du das Recht der freien Arztwahl. Wenn Du krank bist (=arbeitsunfähig), dann wird Dir das jeder Arzt bescheinigen. Ist auch besser, da steckst Du niemanden an :-)

Natürlich kannst du das machen - kein Problem. Du sagst der Sprechstundenhilfe... ich bin hier in der Berufsschule und benötige einen Arzt.