Muss ich einen Baum fällen wegen Birkenpollen?

Ich glaube nicht, dass der Nachbar dich zwingen kann, den Baum zu fällen, weil seine Frau eine Allergie hat. Als nächstes bekommt sie eine Allergie gegen Katzen. Müssen dann sämtliche Katzen der Nachbarschaft abgeschafft werden? Was ist wenn sie gegen Gräser allergisch reagiert. Ich glaube beim besten Willen nicht, dass es hierfür eine gesetzliche Grundlage gibt.

verlangen können Die viel, aber du musst dem nicht nachgehen. Sie wussten dass am Grundstück eine Birke steht, hätten da nicht einziehen brauchen.

Die Allergie ist zwar tragisch für seine Frau,  aber dafür kannst weder du noch die Birke etwas und deshalb würde ich instinktiv sagen,  dass der Nachbar dies nicht verlangen kann. 

Bei uns im Bundesland ist es im übrigen so, dass man pro gesund gefällte Birke bis zu 20.000,-€ Strafe bezahlen muss und bei kranke Bäume eine neue Pflanzen muss. 

Nein, musst Du nicht. In der Blütezeit kommt es auch ohne diesen Baum zu einer hohen Pollenbelastung. Sie kann sich mit Medikamenten helfen oder ein Hyposensibilisierung versuchen.

Einen Baum "einfach so" fällen ist eine sehr schlechte Idee. Das kann je nach Bundesland bzw. Gemeinde sehr teuer (Strafe) werden.

Was dein Nachbar will und was du darfst sind zwei ganz verschiedene Sachen.